フリードマン(H. Friedman)は、逆に、無矛盾性がすでに証明されている
2階算術の部分体系では、どのような数学が展開できるかを調べ、かつ、
数学の各定理について、それが証明できる最低限の環境（最も弱い体系）は
何であるかを研究した。
フリードマンは2階算術体系の部分体系として、5つの代表的部分体系について、
「逆数学現象」と呼ばれる興味深い事実を発見したのであった。
これらの研究は、ある意味で、ヒルベルトのプログラムの現代的な対応というべき
ものであろう。