ε＝３として、それに対してＮが決まって
Ｎ＜ｍなｍを一つ固定。
Ｃａｕｃｈｙ列の性質から任意のｎ＞Ｎに関しては
３>｜An-Am｜>= |An|-|Am|
→
｜Ａｎ｜＜｜Ａｍ｜+３

Ｎ＞＝ｊ　なる｜Ａｊ｜に対しては
｜Ａｎ｜＜｜Ａｍ｜＋３かわからないので

｜Ａｍ｜の代わりに　Ｍ　＝　max{i=1,2,･･･Ｎ,m}｜Ａｉ｜　とすれば

Ｍ＞＝｜Ａｍ｜だしＡｊに対しても　Ｍ＞＝｜Ａｊ｜　だから

任意のｎに対して　｜Ａｎ｜＜Ｍ＋３
で｛Ａｎ｝は有界

ではダメでしょうか？