ベクトル空間の問題で、

基底{[2,1,1],[-1,-1,1],[3,0,2]},{[1,4],[2,5]}(←全て縦ベクトルです)に関する表現行列が[[3,0,1],[2,1,3]]
であるような線形写像f:R^3→R^2についてf([[x],[y],[z]])を求めよ．

という問題なのですが、与えられた基底を左から順にa_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3とすると
f(a_1)=3b_1+2b_2=[[7],[22]]
f(a_2)=　　　-b_2=[[-2],[-5]]
f(a_3)=b_1+3b_2=[[7],[19]]
までは出来たのですが、このあとの進め方がよくわかりません。

線形性から仮にf([[x],[y],[z]])=[[λ_1x+λ_2y+λ_3z],[λ_4x+λ_5y+λ_6z]](λ_1〜λ_6は添え字です)
と置いて代入して計算すると正答と同じ値[[x+3y+2z],[x+12y+8z]]がでたのですが、
そもそもfをx,y,zの一次式で表すのは十分条件であって必要条件では無いと思うのですが(このあたりもよくわかりません)
実際はどのように答えを導けばよいのでしょうか。