>>288
2acos2x=sinxかつ2asin2x=-cosx ・・・(*)
⇒4a^2=1
⇔a=±1/2

a=±1/2のとき
2asin2x=-cosx
⇔cosx(1±2sinx)=0
⇔cosx=0 or sinx=-(±1/2)
sinx=-(±1/2)　とすると
2acos2x=2a(1-2(sinx)^2)=a≠sinx となり矛盾
cosx=0　とすると　cos2x=2(cosx)^2-1=-1より
sinx=2acos2x=-(±1)
したがって x=-(±π/2)+2nπ (ｎ∈Z)

以上の考察から
x=-(±π/2)+2nπ (ｎ∈Z)のとき(*)をみたす実数aは存在しその値は±1/2
xがそれ以外の値のとき、(*)をみたす実数aは存在しない