『オイラーの贈物』読まずに書いて申し訳ないが、
あまりにも間違ったこと書いたら、訂正してくれ。

オイラーまでは、極限操作を厳密にやるって考え方が抜けてた
んじゃなかったか？
無限級数の収束条件、ちゃんと書いてある？
コーシー・アダマールの条件は難しすぎるけど、
せめてダランベールの条件くらい使って評価しておいてほしいと思う。
で、オイラーが高校生や一般人にも分かりやすいのは、
極限操作をすっ飛ばして、しかも後世から見て間違ってない結果を
導いてくれるからで、当然といえば当然じゃないかと。
大学１年生が入学してすぐコケるのは、オイラーよりも後の数学でしょ？