>>370
x -> 0 で　Sin[x]/x -> 1　だから、
g[x_]:=If[x==0,1.0,Sin[x]/x]
としてみると
f[x_]:=If[x==0,0.0,Sin[x]/x]
の積分と僅かに違います
　
正しいグループは
N[Integrate[Sin[x]/x,{x,-1,1}]]
NIntegrate[g[x],{x,-1,1}]

別なグループは
NIntegrate[Sin[x]/x,{-1,0,1}]
NIntegrate[f[x],{x,-1,1}]

でグループ間の差は 2.2*10^(-16) でした。
　　
面白いですね。