>>237
バージョンはいくつ？
4.2.1だと一瞬でb \[Pi]とでるぞ。5以上ならサポートに報告すれ。

Limit[Limit[Integrate[a x/((x - b)^2 + a^2), {x, -L, L}], L -> Infinity], 
  a -> 0]