もっとも古典的かつ典型的な保型形式の話をちょっとだけ。
知ってる人にとっては退屈なだけなので読まなくていいと思います。
自分の復習も兼ねてるので、アプローチの仕方には偏りがあるかもしれません。
舞台は複素上半平面 H:=｛z∈C｜Im(z)>0｝ です。（ただし C は複素数体）

G:=｛g∈GL_2(R)｜det(g)>0｝ とすると、上のほうのレスにもあるように
G は H に1次分数変換の形で作用します。それを g・z と書きます。　（g∈G z∈H） 。
この作用は推移的で都合がいいのですが、ﾌｻｷﾞｺが言うように整数の話が出てくる
ためには「飛び飛びな感じ（離散的な対象）」が欲しいのです。実数 R に対して
整数 Z がある状態と同じようなイメージで G の部分群 Γ:=SL_2(Z) を考えます。

このとき H 上の有理型関数 f で f(z) と f(γ・z) （ただしγ∈Γ） があまり変わらないものを
保型形式（型を保つ関数）と呼びたいわけです。ここでは次のように定義します。


Def
『記号は上記のものとし、k を整数とする。このとき H 上の有理型関数 f で

f(γ・z)=f(z) j(γ,z)^k

を満たすものを、重さ k の保型形式と言う。
ここで j(γ,z) は 1次分数変換 γ・z の分母の1次式を表す。 』

k=0,すなわち重さ0ならば Γの作用に関して完全に不変で、
重さが0じゃないときも誤差というか余分なものはせいぜい
1次式の k乗程度ですよ、というわけです。
これが如何に強い条件かというのは、普通に思いつく複素関数に対して
f(γ・z) を計算してみるとなんとなくわかるのではないかと思います。
さらに試しにこの段階で初等関数などを中心に保型形式となる関数を
探してみるといいでしょう。おそらく挫折すると思います。
歴史的には当然（？）のことながら、後に保型形式と呼ばれる関数が先にいくつかあって
それらを特徴付ける共通の性質として保型性に注目したのです。（多分）