modular forms
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0001茂
NGNG0002１３２人目の素数さん
NGNG0003１３２人目の素数さん
NGNGごくごく簡単に保型形式を語ってみそ．
＝＝＝開始＝＝＝
0004１３２人目の素数さん
NGNGってどんな怪獣ですかぃ
0005１３２人目の素数さん
NGNG0006今井弘一（ホンモノ）
NGNGhttp://users.hoops.ne.jp/imai48/index.html
0007１３２人目の素数さん
NGNG既にマスターしました！
もじゅらを教えて下さい！
0008１３２人目の素数さん
NGNGf(az+b/cz+d)=(cz+d)^k・f(z) (a,b,c,dは整数、ad-bc=1)
を満たすものをSL(2,Z)に関するweight kのmodular formと呼ぶ。
0009１３２人目の素数さん
NGNG0010１３２人目の素数さん
NGNGだからなんなのってカンジだな。実にツマラン。
0011１３２人目の素数さん
NGNGふぇるまの証明で有名になってから、妙に素人の注目をひくようになったな。
0012１３２人目の素数さん
NGNGどういう使われ方するのでしょうか？
0014>13
NGNG0015
NGNGゼータ関数を中心にして数論をとらえようとする立場があるよね。「正統派のゼータ」は、
「オイラー積であり、全平面に解析接続できて関数等式をみたすもの」
と考えられているらしい。
ところが、ある「正統派らしいゼータ」が実際にそうであることを示すのは、ものすごく
難しいことらしい。
代数多様体のハッセ・ヴェイユ式ゼータ関数などは、正統派のゼータであろうと予想されて
いるが、それを代数幾何プロパーの道具で一般に証明できる見込みは全くないそうだ。
しかし、保型形式に付随するゼータ（付随のさせかたもいろいろあるらしい）は、正統派の
ゼータであることが、原理的には証明可能であろうと考えられている。
（実際に、ヘッケ以来、いくつかの場合には証明されている。）
こんなところから（も）、保型形式が数論において非常に基本的なデータであると考えられて
いるんでは？
素人の感想でした。
0016１３２人目の素数さん
NGNG谷山志村予想の名を持ち出してくるのは理解できるけど、
岩澤理論の名を持ち出して何を言いたいのかは全く分からん。
>>13はハッタリかましているとしか思えん。
0017１３２人目の素数さん
NGNGいや、そんなことないって。ワイルズとメイザーによる岩澤主予想の最初の
証明にモジュラー形式が使われているよ。
0018１３２人目の素数さん
NGNG0020１３２人目の素数さん
NGNGｵﾏｴ､ｵﾝｦｱﾀﾞﾃﾞｶｴｽｸｽﾞｶ?
ｼﾈ!
0021１３２人目の素数さん
NGNGさすがですね.
岩澤理論⇒⇒⇒谷山・志村予想
わからないというひともいるけど（ｗ
0022１３２人目の素数さん
NGNGひろそひーおせーてよ
0023１３２人目の素数さん
NGNGキョーミあるんなら自分で調べな。
0024１３２人目の素数さん
NGNG調べりゃわかるとおもってる
お調べちゅーぼー↑
0025１３２人目の素数さん
NGNG0026１３２人目の素数さん
NGNGお調べくん
みっともない
0027１３２人目の素数さん
NGNG「受け売り」で生きてるお調べ少年
0028１３２人目の素数さん
NGNG0029１３２人目の素数さん
NGNGしろーと
0030１３２人目の素数さん
NGNGとーしろー
0031１３２人目の素数さん
NGNGとーろー
0032１３２人目の素数さん
NGNGとーとろじー
0033１３２人目の素数さん
NGNGじー
0034１３２人目の素数さん
NGNG0035１３２人目の素数さん
NGNG0036１３２人目の素数さん
NGNG0037１３２人目の素数さん
NGNG0038１３２人目の素数さん
NGNG0039１３２人目の素数さん
NGNG0040１３２人目の素数さん
NGNG0041１３２人目の素数さん
NGNG0042１３２人目の素数さん
NGNG0043１３２人目の素数さん
NGNG0044１３２人目の素数さん
NGNGとうしろうでーす。
多変数保型形式についての良き文献、
紹介ぎぼーん！
0045１３２人目の素数さん
NGNG0046１３２人目の素数さん
NGNG／.:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::.＼ ^^
/ .::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::..ヽ
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
:::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;::::
:::::::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
::::::::::::::::::::∧＿∧ たぶん
::::::::: ( ::;;;;;;;;:) 僕は忘れてしまうだろ
_.. /⌒:::;;;;;ヽ
-― ―'ー'-''―-''/ / ::;;;;;;;;:| |―'''ー'-''――'｀'
,, '''' . ''''' と./ゝ_;_;_ノヽつ 、、, ''"
,,, '' ,,, ::;;;;;;;;;::: ,, ''''' ,,,,
,, ,,,, ''' , ,, ,,,,
0047１３２人目の素数さん
NGNG>>44
マンフォードの tata が良いよ
004844
NGNGtheta function に関する３冊本のことですか？
0049山崎渉
NGNG0050１３２人目の素数さん
NGNG0051１３２人目の素数さん
NGNG0052１３２人目の素数さん
NGNGShimura, Arithmetic Theory of Auotmorphic Function
0053５１
NGNGご返答有難う御座います。
これは日本数学会,Princeton university press から
出ているものですか？
0054１３２人目の素数さん
NGNG0055１３２人目の素数さん
NGNGHeckeなんかも読んでも損ないんじゃない！
0056Prof.ﾌｻｷﾞｺ
NGNGミ,,ﾟДﾟ彡 ＜ すこし保形関数のｲﾒｰｼﾞ的に語ってみようかなと・・・
ﾐ つ且~~ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
〜ﾐ,,,,,, ,,ﾐ
ｻｲｷﾝﾃﾞﾊ、ﾆﾎﾝﾑｶｼﾊﾞﾅｼﾆｾﾞｰﾀｶﾝｽｳﾉﾅｿﾞｦﾄｸｶｷﾞｶﾞｱﾙﾄ
ｲﾒｰｼﾞﾃﾞｷﾙﾄｺﾛﾏﾃﾞｲｶﾅｲﾄﾀﾞﾒﾗｼｲ・・・
0057Prof.ﾌｻｷﾞｺ
NGNG点をいっせいに途切れたりしないように動かしてやったわけね。これとおんなじ感じで、
なんか空間があったら、その空間上の点をいっせいに動かしてやると。これは「群を作用
させる」って操作になるんだけど。そうしたときにあんまり変化しない、空間上の関数が
保形関数ってわけでつ。
￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∧,,∧
ミ,,ﾟДﾟ彡
ﾐつ つ あんまり変化させないってとこを、もう少していねいに言うと、
〜ﾐ ﾐ. 空間に作用する群は、その空間上の関数全体のつくるベクト
Ｕ Ｕ ル空間の一次変換になるんだけど、保形関数ってのは、その
一次変換の（同時）固有ベクトルになってまふ。
0058Prof.ﾌｻｷﾞｺ
NGNGﾐ ﾞミﾞ ﾐ ｜お姿をお現しになるわけでつ。なんで保形関数なのか？ゼータ関数には
ﾐ 〜 ｜ 関数等式ってのが成り立って欲しいわけでつ。これはある軸を境に、
ﾐ∧,,∧ ｜ ゼータ関数の値が大体対称になっていると言う感じでつかね。
ミ,,ﾟДﾟﾐつ＜ このゼータ関数の値の対称性が、保形関数が群の作用によってあんまし変
ﾞＵ ﾞﾞ | わんないという対称性とマッチングしていることによるわけでつ。
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
0059Prof.ﾌｻｷﾞｺ
NGNG|,,∧ ｜ゼータ関数にはこれと全く趣を異にして作られるものがあって、
|Дﾟ彡 ＜ それは、素数ごとに作られる関数を集めてできあがるんだけど・・・
⊂ﾐ ｜ Langlands予想というのは上のゼータ関数とこちらのゼータ関数が
| ﾐ ｜ 実は同じものだった、と言う予想なのでふ。
|´
|
|､ ｻｯ
|彡彡 >>51 WeilのFoundationは一応そばにおいておくといいんじゃないかな？
|
|
|
0060１３２人目の素数さん
NGNG> あんまり変化させないってとこを、もう少していねいに言うと、
> 空間に作用する群は、その空間上の関数全体のつくるベクト
> ル空間の一次変換になるんだけど、保形関数ってのは、その
> 一次変換の（同時）固有ベクトルになってまふ。
ここんところもっと詳しく
数式使って説明してみそ
0061Prof.ﾌｻｷﾞｺ
NGNG実数の作る空間Rに整数全体Zをx→x+nというふうに作用させまふ。
この作用は実数上の関数ｆ（ｘ）にｆ（ｘ）→ｆ（ｘ+ｎ）てな感じで作用しまふ。
つまり整数ｎごとに、一次変換(x)→f(x+n)ができるわけでつ。
f(x)=exp(2πix) （ただしi=√-1） とすると、どんなｎに対してもｆ（ｘ+ｎ）=f(x)
となるので、f(x)は固有ベクトルになってまふ。
￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∧,,∧
ミ,,ﾟДﾟ彡
ﾐつ つ 同時固有ベクトルの「同時」はどんなｎに対しても
〜ﾐ ﾐ. 固有ベクトルになってるということね。
Ｕ Ｕ
0062Prof.ﾌｻｷﾞｺ
NGNGになってないといけないでつ。上の例でいうと、exp(2πix)は結局、
0≦ｘ≦1で値が決まってしまうわけでつが、一般的な場合にも
保形関数の値を決めてしまうような領域が作れまふ。このとき、作用
する群が｢飛び飛び｣な感じじゃないと、そのような領域がつぶれてし
まうので、つまんない保形関数しかできないというわけでつ。
￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∧,,∧
ミ,,ﾟДﾟ彡
ﾐ つ且~~
〜ﾐ,,,,,, ,,ﾐ
0063１３２人目の素数さん
NGNGSiegel上半空間以外にどんなのがあるの？
面白さは何によって決まるの？
0064１３２人目の素数さん
NGNGおもしろさは人それぞれ
0065１３２人目の素数さん
NGNG代数群→アデール群
0066１３２人目の素数さん
NGNG0067１３２人目の素数さん
NGNGΣ[n=0〜∞]x^{f(n)}/{(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)}
が無限積を用いて表される条件とか知られてる？
0068bloom
NGNG0069山崎渉
NGNG0070勃起
NGNG0071山崎渉
NGNG0072山崎渉
NGNG（ ＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）
0073GO MAXIMA
NGNG0074１３２人目の素数さん
NGNG0075GO MAXIMA
NGNGELLIPTIC CURVES Henty McKern ,Victor Moll
Cambridge University Press ISBN 0521658179
4000￥はしないはず。
0076山崎渉
NGNG0077山崎渉
NGNG0078１３２人目の素数さん
NGNGいつ頃出るのかな？
0079１３２人目の素数さん
NGNG0080幼稚園児
NGNGちょっと面白かったぞゴルァ!
0081１３２人目の素数さん
NGNG微分方程式と保型形式がどう関係するのか教えてくれ
0082１３２人目の素数さん
NGNGG = SL(2, R), H = SL(2, Z) としてG/H上の函数がモジュラー函数なのでは？
正確にいうとG/Hをコンパクト化して複素構造を入れてリーマン球面と考えるんでしたっけ？
昔、勉強したもので、自信はないですが。
0083１３２人目の素数さん
NGNGポアンカレによるフックス群の理論のことじゃないかな？
0084１３２人目の素数さん
NGNG一変数保型形式の定義を書いたところで力尽きた
かなり面倒だ
やること多すぎるんだよな。面白いところに行くまでに
相当準備しないといけない
0085せっかくだから貼っておくけど続きはないよ
NGNG知ってる人にとっては退屈なだけなので読まなくていいと思います。
自分の復習も兼ねてるので、アプローチの仕方には偏りがあるかもしれません。
舞台は複素上半平面 H:=｛z∈C｜Im(z)>0｝ です。（ただし C は複素数体）
G:=｛g∈GL_2(R)｜det(g)>0｝ とすると、上のほうのレスにもあるように
G は H に1次分数変換の形で作用します。それを g・z と書きます。 （g∈G z∈H） 。
この作用は推移的で都合がいいのですが、ﾌｻｷﾞｺが言うように整数の話が出てくる
ためには「飛び飛びな感じ（離散的な対象）」が欲しいのです。実数 R に対して
整数 Z がある状態と同じようなイメージで G の部分群 Γ:=SL_2(Z) を考えます。
このとき H 上の有理型関数 f で f(z) と f(γ・z) （ただしγ∈Γ） があまり変わらないものを
保型形式（型を保つ関数）と呼びたいわけです。ここでは次のように定義します。
Def
『記号は上記のものとし、k を整数とする。このとき H 上の有理型関数 f で
f(γ・z)=f(z) j(γ,z)^k
を満たすものを、重さ k の保型形式と言う。
ここで j(γ,z) は 1次分数変換 γ・z の分母の1次式を表す。 』
k=0,すなわち重さ0ならば Γの作用に関して完全に不変で、
重さが0じゃないときも誤差というか余分なものはせいぜい
1次式の k乗程度ですよ、というわけです。
これが如何に強い条件かというのは、普通に思いつく複素関数に対して
f(γ・z) を計算してみるとなんとなくわかるのではないかと思います。
さらに試しにこの段階で初等関数などを中心に保型形式となる関数を
探してみるといいでしょう。おそらく挫折すると思います。
歴史的には当然（？）のことながら、後に保型形式と呼ばれる関数が先にいくつかあって
それらを特徴付ける共通の性質として保型性に注目したのです。（多分）
0086１３２人目の素数さん
NGNG個別に考えてLanglands対応してる例を見るとすごく面白いし
保型形式も結局はζを違う面から見てるってことなのかな？
って気持ちにたまになる
0087１３２人目の素数さん
NGNG0088１３２人目の素数さん
NGNGモジュラー関数なんて分かりようが無いと
思うが。
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） それもこれも
（ ´_ゝ`） / ⌒i フェルマーとワイルズと
／ ＼ | | サイモン・シンの御蔭かな
/ /￣￣￣￣/ |
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0089１３２人目の素数さん
NGNGなぜSL(2,Z)か、説明がないね。
>>85にしても安直な答えだし
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） そんでもって、
（ ´_ゝ`） / ⌒i >>58のようにゼータに飛ぶのは
／ ＼ | | 少々性急だね。
/ /￣￣￣￣/ |
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0090１３２人目の素数さん
NGNG自然に出てくるものだよね。
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） そう、楕円関数を分類するから
（ ´_ゝ`） / ⌒i "モジュラー関数"ってわけだね。
／ ＼ | |
/ /￣￣￣￣/ |
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0091１３２人目の素数さん
NGNGホットな話題が最近あったね。
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） ムーンシャイン予想のことか？
（ ´_ゝ`） / ⌒i ま、数学の気まぐれっていう点では
／ ＼ | | ゼータと並んで面白い現象だな。
/ /￣￣￣￣/ |
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0092しろうと
NGNG0093１３２人目の素数さん
NGNG楕円曲線の有理点に関わるから、
もともとの由来に関わると思うが。
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） 虚数乗法にも関係があるしな。
（ ´_ゝ`） / ⌒i おっと、これも楕円関数を知らないと分からないかな？
／ ＼ | | そういえば、谷山の愛読書は高木の「近世数学史談」
/ /￣￣￣￣/ | というのは有名な話。
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0094１３２人目の素数さん
NGNGガウスを境にして、１８世紀と１９世紀で
数学の様相が一変した感じがするね。
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） 岩波数学辞典の顔写真はｶﾞｳｽに始まり
（ ´_ゝ`） / ⌒i ｱｰﾍﾞﾙ,ｶﾞﾛｱ,ﾘｰﾏﾝ,ﾎﾟｱﾝｶﾚ,ﾋﾙﾍﾞﾙﾄ,ｶﾙﾀﾝ,高木か
／ ＼ | | 幾何学者のｶﾙﾀﾝを除けば、みな楕円関数や
/ /￣￣￣￣/ | 保形関数に何らかの関わりがあるのは面白い。
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0095１３２人目の素数さん
NGNG0096１３２人目の素数さん
NGNG新入生ですか？
0097１３２人目の素数さん
NGNGmodular forms
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1019920517/88-
0098１３２人目の素数さん
NGNG誤爆すな
0099１３２人目の素数さん
NGNGそれ以前にディリクレ級数にフーリエ級数を対応させるとき
前者がある関数等式を満たすのと、後者がモジュラ形式に
なるというのと同等だというところで既に感嘆モード（ｗ
∧＿∧
∧＿∧ （´<_｀ ） そんでもって前者が無限積表示を持つとき
（ ´_ゝ`） / ⌒i 後者がHeckeオペレータの同時固有関数
／ ＼ | | とかいうあたりで完全にお陀仏モード（ｗ
/ /￣￣￣￣/ |
＿_(__ﾆつ/ FMV / .| .|＿＿＿＿
＼/＿＿＿＿/ （u ⊃
0100１３２人目の素数さん
NGNGゼータの話をしたり具体的な対象を出すのは、お話的な方法としてはもちろん
本格的な勉強法としても決して悪くない。Adele化の概念すら知らないままに
局所的に進んだって全然構わない。
0101１３２人目の素数さん
NGNG0102１３２人目の素数さん
NGNG0103山崎 渉
NGNG│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
⊂| |つ
（＿）（＿） 山崎パン
0104１３２人目の素数さん
NGNG0105１３２人目の素数さん
NGNG0106１３２人目の素数さん
NGNGInttroduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions
ってどうなの？
0107１３２人目の素数さん
NGNG迫力がある。
0108涙目
NGNG0109１０６
NGNG今は数セミで紹介されてたKNAPのELLIPTIC CURVESを読んでる途中だったりするわけで…．
0110１３２人目の素数さん
NGNG保型形式やってる人はほぼ全員読んでいると思う。
Ｍ１の間に読んでおければいいんじゃないかな
0111千恵子
NGNG0112１３２人目の素数さん
NGNG周囲との温度差がいいですね、凄いですね！
0113１３２人目の素数さん
NGNG0114１３２人目の素数さん
NGNG0115１３２人目の素数さん
NGNGさんきゅ！
あまり話題にならなかったね。
0116１３２人目の素数さん
NGNGInttroduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions
これらは違う本なの？？
図書館で、外見が前者の本を開いたら、中身の題目は後者だった。
0117１３２人目の素数さん
NGNGいま保型形式ってなにが中心テーマ？
0118１３２人目の素数さん
NGNG0119１３２人目の素数さん
NGNG岡田克彦先生の「家路」「朝の海」などの傑作ピアノ小品
が、２ちゃんねるぷらす５月２２日号の付録ＣＤとして
絶賛発売中です。
下記の先生のホームページのご案内をお読みになり、
購入し、聴いてみましょう。
ＵＲＬ；http://www.geocities.co.jp/MusicHall/5933/
岡田克彦ファンクラフ゛からのご案内です。
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0120１３２人目の素数さん
NGNGよくわからんけど中心なんてあるのかな？
例えばすごく面白いliftung（斉藤・黒川など）が見つかったら
しばらくはその周辺が流行りになるとか、そんな感じがする。
話題はたくさんあるから、中心というよりは流行なのかも。
（次元公式なんかは多くの日本人が活躍している分野
ではあると思うけど）
まあ最近の動向を追っているわけではないので
実際には今何か大きな流れがあるのかもしれない。
もっと詳しい人がいたら説明よろしく
0121１３２人目の素数さん
NGNG0122１３２人目の素数さん
NGNG0123１３２人目の素数さん
NGNG0124１３２人目の素数さん
NGNG>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
0125１３２人目の素数さん
NGNG0126１３２人目の素数さん
NGNG0127１３２人目の素数さん
NGNG0128１３２人目の素数さん
NGNG0129１３２人目の素数さん
NGNG0130１３２人目の素数さん
NGNG0131１３２人目の素数さん
NGNG0132１３２人目の素数さん
NGNG0133１３２人目の素数さん
NGNG0134１３２人目の素数さん
NGNG0135１３２人目の素数さん
NGNG0136１３２人目の素数さん
NGNG0137１３２人目の素数さん
NGNG感心しました。
0138１３２人目の素数さん
NGNG0139１３２人目の素数さん
NGNG0140１３２人目の素数さん
NGNG0141１３２人目の素数さん
NGNG斎藤黒川リフトの一般化が数年前にみつかったって
話聞いたけど，ジーゲルでもキツイのにジーゲル・
ヤコビなんて既知外沙汰だよなー
0142１３２人目の素数さん
NGNG0143１３２人目の素数さん
NGNG0144１３２人目の素数さん
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