量子力学のくわしいかたへ
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0001名無し
NGNG0002>
NGNG0003名無しさん
NGNG0004>1=3?
NGNGその説明の続きから始めるから。
00053です
NGNGN個の調和振動子からなる系を考える。
H=Σ１/2m*P_i^2+k/2*x_i^2
この系の分配関数は(β＝1/k_BT)
Z=∫dp_1∫dx_1・・・∫dp_N∫dx_N*EXP[-βH]
これはガウス型積分になるので、（全ての積分は独立だから）
Z=[√(2πm/β)√(2π/(βk)]^N
これより内部エネルギーは
<E>=∂lnZ/∂β＝Nk_B*T
となり、比熱は
C=Nk_B
となる。３次元の弾性体の場合の独立な振動の個数は、Ｎが十分大きい場合、
３Ｎなので、
C=3N*k_B
となる。これはデュロン・プティの法則とよばれ、これより系の比熱は温度によらず一定となる。しかし、これは熱力学第３法則を
満たさない。
ちなみに１≠３です。
00062=4です。
NGNGDulong-Petitの式から、古典統計力学のエネルギーと比熱の関係を説明し、Einsteinの比熱式で、格子の振動周波数ω0が全て等しいという仮定の下での量子論的な(=離散したエネルギー状態しか持ち得ない状態での)エネルギー補正を行い、更にそれを拡張して、周期的境界条件の下での（これが「連続弾性体モデル」で良いでしょうか？）、エネルギー補正を行ってDebyeの比熱まで持っていこうと思ってたんだけど、俺の理解度では、既に5の時点で理解出来ない点が一杯あるなあ。
3=5さんにちょっと補足して解説お願いしたいんですが、よろしいでしょうか？
自分は、古典統計力学では内部エネルギー<E>=RT(=NK_B*T)であるというところから入ったもので、これ自体の導出過程がよく理解できていません。
H=Σ((P_i^2/2m)+(k*x_i^2/2))
この式は、調和振動をしている格子の運動エネルギー（運動量の自乗÷格子点の質量×(1/2)）と歪みエネルギー（比例係数(ばねなら弾性定数)×変位の自乗×(1/2)）の総和を取っていると理解しました。が、次の行の意味がよくわかりませんでした。
Z=∫dp_1∫dx_1・・・∫dp_N∫dx_N*EXP[-βH]
この式の物理的意味と、実際にこの積分を行って
Z=[√(2πm/β)√(2π/(βk)]^N
を導出するまでの解法を教えてもらえないでしょうか？
と、あと二つほど教えてもらいたい点がありますけど、長くなりそうなので一度切ります。
00073＝５です
NGNG格子）のとりうる状態の数を表しています。今、系は熱平衡状態にあるので、とあるｐ、ｘをもった粒子の分布は
ボルツマン分布に従っています。つまり、求めようとしているのはボルツマン分布している粒子の全状態数を求めようとしているのです。
Ｈの中のＰとかｘの添え字iは各々の粒子です。運動量、位置の全てに関して和をとれば、Ｎ個の系のもつ全状態が分かります。
積分ですが、ハミルトニアンの中を見ると、２つの粒子の間の相互作用は入っていないので、Ｎ個の積分を各々独立におこなうことが
できます。
Exp[Σ ]=Π[Exp ]
の関係式を用いると、
Z=[∫dp_1∫dx_1EXP[-βH]]^N
となり、また、運動エネルギーと弾性エネルギーは独立しているので、
∫dp_1∫dx_1EXP[-βH]]=∫dp*P^2/2m * ∫dxk*x^2/2
となります。（どのiに関しても積分結果は変わらないので添え字は省く。）
積分範囲は―∞〜＋∞です。で、被積分関数はガウス型なので、公式を用いると、
Z=[√(2πm/β)√(2π/(βk)]^N
となります。
00082=4です。
NGNGある粒子iがあるエネルギー状態εにある確率が、ボルツマン因子exp(-ε/k_B*T)に比例するような分布がボルツマン分布であると理解しています。
この場合、ε=Hであると思うのですが、粒子の全状態数Zを求めるとは、
∫exp(Σ-ε/k_B*T)dpdxを求めるということでよろしいのでしょうか？
そうだとすると、Exp[Σ]=Π[Exp]ですから、（総積をΠと表記するんですね。知りませんでした。）
exp((-H1/k_B*T)+(-H2/k_B*T)+(-H3/k_B*T).....+(-HN/k_B*T))=exp(-H1/k_B*T)*exp(-H2/k_B*T)*exp(-H3/k_B*T)*.....*exp(-HN/k_B*T)
調和振動しているから、各格子のハミルトニアンは等しいのでH1=H2=...=HNである。よって、
=exp(-Hβ)^N
で、かなり近い形までは持って来れそうです。
また、
∫dp∫dxEXP[-βH]]に、H=(１/2m)*P^2+(k*x^2)/2を代入すると、
∫exp(-β*P^2/2m)dp*∫exp(-β*k*x^2/2)dx
になると思うのですが、ここからexpとβが取れて
=∫dp*P^2/2m * ∫dxk*x^2/2
となるくだりもよくわかりません。被積分関数はガウス型とありますから、単に省略表記してあるだけなのでしょうか？
今、ガウシアンの積分公式を探しているのですが、ちょっと見当たりません。
確か、誤差関数が入っていたような記憶があるのですが、-∞〜+∞で積分すると何かの定数になるような性質がありましたでしょうか？
よろしければ、よろしくお願いします。
00092=4
NGNGZからの系のエネルギーの導出ですが、E=∂lnZ/∂β(ある状態にある粒子のエネルギーでは無く、系内のエネルギーなのでカギ括弧<>は要らないですよね。)について実際に計算してみますと、上手く-2π/ω0が消去出来ないんです。
Z=(√(2πm/β)*√(2π/βk))^N=((2π/β)*√(m/k))^N
ここで、調和振動の周波数をω0(=√(k/m))とおくと、
lnZ=N*ln(2π/βω0)
∂lnZ/∂β=N*∂ln(2π/βω0)/∂β=-N*∂ln((2π/ω0)β)/∂β
=N*(-2π/ω0)*(1/β)=(-2π/ω0)*N*K_B*T
正しい解はもちろん(-2π/ω0)がついていないのですが、何処が間違っているのでしょうか？（第二の質問）
系内のエネルギーが、Tの関数として求められるようになれば、比熱の算出は簡単ですね。比熱の物理的意味は、「系の温度が単位温度上昇するためには、系に熱量(=エネルギー)を幾ら与えればよいか」ですから、エネルギーの温度微分が比熱ということになります。(単位もJ/Kですね。)←Dulong-Petittの法則の量子論意味を説明してもらおうとした意図はこの点にありました。
で、5にあるように、C(=dE/dT)=3NK_B=3R(ボルツマン定数K_B=ガス分子一個当たりに換算したガス定数R)となりますね。
Dulong-Petittの法則で求めた比熱が低温では大きい側へずれる（というよりも実際の値が3Rよりも小さくなっていく）ことは知っていましたが、第三法則と関連付ける解釈もあるんですね。
これは、
∂S/∂T=C/T=3R/T
辺々をTで積分して、
∫dS=∫3R/TdT=3R∫1/TdT
よって、
S=3Rln(T)
となり、この式においてT→0でS→-∞(第三法則によればS→0(純物質完全結晶の場合、そうでない場合には、熱振動項が零になっても、異原子や転位による格子の乱れが残存したS0に漸近する))となるというのが、第三法則が成立しないという意味だと解釈してよろしいでしょうか？（第三の質問）
よろしければ、よろしくお願いします。>3=5さん
00103＝５です
NGNG=∫dp*P^2/2m * ∫dxk*x^2/2
ですが、ごめんなさい。EXPをつけるのをわすれていました。当然正しい式は
=∫dp*EXP[-βP^2/2m] * ∫dx*EXP[-βk*x^2/2 ]
です。
ガウス積分の公式は、０〜∞の定積分で岩波の数学公式集に載っています。
この種の積分は自分で出すこともできるんですが。よく複素積分の演習問題になります。
それによると、
∫EXP[-a^2*x^2]dx=√π/2a
となります。今の場合、積分範囲は―∞〜＋∞ですが、被積分関数は隅関数であることを利用すれば
求まります。
00113＝５です
NGNGLogの性質として次のようなものがあります。
ln(abc)=lna+lnb+lnc
これをｚについて利用しまくります。
そうすると、
lnZ=N{ln[2π]-ln[β]-ln[ω0]}
となります。ここでまたミスでした。内部エネルギーは
<E>=-∂lnZ/∂β
でマイナス記号がつきます。βがlnZで絡んでくるのは第２項だけですから
<E>＝Nk_B*T
がでます。
第３の質問に関してはそのとおりです。低温の比熱測定でDulong-Petitとずれてくるというのが
一般的に知られています。
00122=4です。
NGNG偶関数なら∫EXP[-a^2*x^2]dx=2*√π/2a=√π/aとなるわけですね。 で、a==√(2πm)と√(2π/k)を入れてあげればよいと。
<E>の方は、βに対して定数となる項を分離してやるわけですか。で、定数項の微分は零というのを使うと。
自分には、とても分かり易かったです。
で、1の人はここまでOKなのかな？
0013名無しさん＠１周年
NGNG２さんや３さんて、院生ですか？
それとも教授ですか？
0014実験的には
NGNGあとデバイ温度自体が温度変化したりして、扱いがやっかいです。
またデュロンプティが低温で駄目なのはsumすべきところを積分してるからですね。
001512>13=1?
NGNG3=5さんは多分、物理をご専門にされているか、それに近い方と思いますが、いずれにしても私が理解できる程度ですので、レベルは知れている話です。3=5さんにとっては恐らく極めて初歩的なことなのだと思います。（私にはやっとですが。）
例えば、12までの話で、どこが分からなかったでしょうか？
>14さん
「sumすべきところを積分」というのは、量子的に離散値しか持ち得ないlnZをあたかも連続値であるかのように積分しているのが問題という意味でしょうか？デュロンプティが低温で駄目なのは理解できるのですが、「sumすべきところを積分」しているから、というのが数式的に追いつけません。よろしければ、教えて頂けないでしょうか？
00163＝５です
NGNG僕もデュロンプティが低温で駄目になる原因としての、「sumすべきところを積分」という
意味がわかりません。何の物理量に関しての「sum」なのですか？
僕は、デュロンプティは古典統計力学に基づいているので、低温になっ
て粒子の量子性が顕著になってくるに従い、破綻してしまうと思っていたのですが。
ちなみに僕は物性物理の院生です。
00173＝５です
NGNG量子力学ではエネルギーは離散値をとるが、古典力学では連続値をとる。
つまり分配関数の式に書くと、
量子論では
Z=ΣExp[-β(h/2π*ω*(n+1/2))]
（和はnにわたってとる）
となり、積分で書くことはできない、ということですよね。
001814
NGNG＞デュロンプティは古典統計力学に基づいているので
おっしゃられる通りです。言葉が足りませんでいた。
平均エネルギーを、デュロンプティは以下の式の前者、
量子論的には後者で求めているという違いを言おうとしてました。
<E> = ∫(固有値*確率) / ∫(確率) = kT
<E> = Σ(固有値*確率) / Σ(確率) = hν / (exp(βhν) - 1)
0019名無しさん＠１周年
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7月10日のにちゃんねるさらっとよみ通常版です。ただいまの読者は688名です。
レポート妄想で書いてくださいって、、嗚呼、、、書けるかなぁ、、
しかし、そろそろ梅雨明けてもいいんじゃないかなぁ、、
☆量子力学のくわしいかたへ ＠材料・物性
？？？？？？？？？？？です。まったく？？？？なんでコメントなしです。？？
http://mentai.2ch.net/test/read.cgi?bbs=material&key=962780153
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