105さんに教えていただいたスレを全部読んで、
95さんにも教えていただいたData Rescueをダウンロードして試してみました。

このソフトも外付けHDDを認識はしてくれるのですが、
いざHDDの中味をスキャンするとなると
簡易スキャンだと空っぽの状態で表示されるし、
細かくスキャンすると壊れていて読み込めない・・・
やはりDisk First Aidでの診断結果と同じく、２箇所壊れているとの回答でした。
これを見た瞬間目の前真っ白に。

もうこれ以上ごたごたやっても無駄のようなので、明日にかけようと思います。
やるだけやればあきらめもつくような気がしてきました。
皆さん遅くまでおつき合い下さって、本当にどうもありがとうございました。
感謝しています。