wget -O /tmp/b.txt http://example.com/index.html

のようにすると、b.txtにindex.htmlの内容が返ってきますが、
wgetするごとにb.txtに追記するようにはできないでしょうか

wget -O /dev/stdout http://example.com/index.html >> /tmp/b.txt
としても、なぜか上書きされます。