LTE掴まないとか正直どうでもいい。繋がるだけマシ。
問題は、３Gすら掴まないんじゃないかって点。それぐらい深刻な問題だと思ってる。

SIMフリーでも例えばKDDIのSIM入れるとAPN欄が消えたりするから、
どこの国のモデル買ってきても基本的に特定キャリアのSIMに対する挙動は変わらない。
万一、ドコモのSIM入れてAPN固定になる仕様だとするなら3G/LTE関係なしに繋がらない。

LTEのAPNだけが固定、という可能性も考えられるがそういう挙動が可能なのかは分かりかねる。