いいえ、そのようにはなっていません。
そもそもAu光にはBIGLOBEやSO-NETなどに収めるプロバイダ料金なるものがありません。
biglobeやniftyは単なる募集機関です。
したがってリモートホスト名はKDDIの物となります。
驚いたことにIPアドレスもほとんど固定で、２年間一度もIPアドレスが変わることはありませんでした。
自宅にログインするときは、DDNSに登録しなくてもほとんど支障ないのでそういう時は便利だと思います。