ルーターとモデムとの間で 100/10 Baseの自動認識がうまく行っていないような気がする。
これ、ネットワーク関連の仕事をしていると結構良く出くわすトラブル。
どちらの機器の問題と限定できず、結局相性問題として片付けられることが多い。

>>34 がアドバイスしている HUB をはさむと言うのも、この問題の同定に良く使われる方法だよ。

まずできるのであれば、ルーター側かモデム側のネットワークポートを10Base に固定する。
もしこれで安定するようなら、100Base に固定する。

これができたら書き込み宜しく。