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ブラウズするでもブラウジングするでも問題ない。

browse
━ 【動】【自】
T 〈家畜などが〉若葉[若芽]を食う; 〔若葉などを〕食う 〔on〕.
U
1 〔本などを〕拾い読みする
2 (店などで)漫然と商品を見る.
━ 【他】
T 〈牛などが〉〈若葉・新芽を〉食う.
U 〔…を求めて〕〈書棚などを〉あさる; 〈本などを〉拾い読みする
━ 【名】
T 【U】
1 [集合的に] (牛などが食べるのに適した)若葉, 新芽.
2 若葉を食べること
U [a 〜] 拾い読み

ブラウズする:browseは名詞で目的語の働き
ブラウジングする:browsingは動名詞で目的語の働き