フレッツ1.5Mから8Mに乗り換えようと思うのですが、
今は1.5Mのモデム（レンタル）と電気店で購入したルータを使用してます。

8Mのモデムをレンタルしようと思うのですが、
ルーター機能は最初から入っているのですか?

NTT西日本です。