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古いサーバが止まる前にDNSの書き換えができれば、繋がらない時間は発生しないと思う。

ただ、新しいDNSレコードの伝播が完了するまでの数日間は、古いサーバが見えたり新しいサーバがみえたり、という時間ができるんじゃないかな。