セキュリティのために、ヤフーBBにメルコのルーターつけてます。

初心者の質問になりますが、
ダイヤルアップみたいにモデムのコンセント抜き差ししても
IP（？）とかは変わらないんですか？

「診断くん、確認くん」なんかでみても、クライアントホスト名、
現在接続している場所（現ＩＰ）はいつも同じです。

ルーターつけてもIP抜かれちゃうことってあるんですか？
アダルトみてたら最近接続が遅くなるときがあるんで。
（スパイウェア、スヌープウェアが仕込まれてるとか・・）