471です。
すみません、大事なこと書き忘れました。
使用楽器はギターではなく、リッケンベース4001です。
エフェクターが初めてということではなく、家ではラックタイプのマルチを使っています。
ライブではアウトボードのコンプやクリーンブースターを使っています。
コンパクトの歪み系が初めてということでした。

単独の曲であれば、その曲のときにだけつなぐという対応もできます。
しかし「ミーン〜」という曲は、10分以上続くメドレーの一部分（1分程度）なのです。
したがって、曲間でエフェクターを外すということができません。
そのため、OFF時の音も気になるのです。

トゥルーバイパスに関しては「できれば」と書いたように、譲歩しなければならない条件もあるだろうなとは思っています。
調べたところ、ダンエレクトロのCool Catシリーズは1万円未満でもTB仕様とのこと。
それで他にも10K未満でTB仕様のものもあるのかなと考えた次第です。