お取り込み中失礼ですが、653じゃなくて643ではありませんか？
（オルガン小曲集の最後から2番目の曲）

さて、私も推理（人物じゃなくて曲の方）に参加させていただきましょう。
「弾きながら歌ってくれた」と言うからには、当然歌詞付きの楽譜があったはずです。
30年前にあった楽譜でそれに当たるものを考えてみると、
旧バッハ全集はいくら何でも個人宅には無さそうなので、思い当たるのは２種類です。
1.389 Choralgesänge, Breitkopf & Härtel 1912?
2.Mehrstimmige Choräle, Peters 1930?

どちらの楽譜にも'Alle Menschen müssen sterben'の曲名で２曲ずつ収録されています。
すなわち、BWV162のコラールとBWV262です。
曲名が同じなので、どちらも可能性はありますが、やはり歌詞から考えてBWV262でしょうね。

なお、メロディはそれぞれ違い、オルガン曲はさらに別メロディというのはご存知でしょうが、念のため。