スケール、長調＋短調２種類（和声・旋律）必須です。
ぜひがんばってください。

あと、ハノンの話題が出てますのでざっと触れますね。
ハノンもあちこちの出版社が出してますので、どれを使うか
迷うところですが、いちばん無難に使えるのは全音かカワイ
から出ているハノンだと思います。

音楽之友社からでている「最新・ハノン」は初心者にはかなり
キツイと思います。楽譜も小さくて見づらいですし（でも中級
以上にはなかなかよい練習のヒントがかかれています）。

あと、ヤマハから出ているハノンもおすすめです。
なんといっても解説が細かいですし。

スケールの練習によい本を１冊ご紹介します。
「スケールとアルペジオ」という本です（大阪音楽大学編：
ただし普通の楽器店で買えます。黄色っぽい表紙です）。