＞親の会がスズキの先生をお呼びしてるっていう半自主運営みたいな形
に見えますが。

ご明察！
才能教育研究会の理念に賛同する人（親）が会員を募って支部をつくり、指導者を本部に
紹介してもらうという形になっています。
だから
＞もしかしてそういう会計や集金も親がやるのですか？
もちろんそういう仕事も親がやりますし、会員募集とか勧誘も親の仕事です。

＞ほんとうに先生を勉強させるのは誰の義務or責任なの？

さあ？
今ざっと規約を読んでみましたが、会員の義務のようなことは書いてありますが、
指導者については一言も触れてないですね。

指導者は支部には属していないようです。
指導者は公式にはどこに属しているのでしょう？