微分方程式
　　d^2y/dx^2 + k^2y = 0
の一般解は
　　y = Aexp(kix) + Bexp(-kix) = A(cos(kx) + isin(kx)) + B(cos(kx) - isin(kx)) = (A + B)cos(kx) + (A -B)isin(kx) = Ccos(kx) + Dsin(kx)
である。x = 0からaに閉じ込められた1次元の箱型ポテンシャル中の自由粒子のシュレディンガー方程式は
　　d^2Ψ/dx^2 + (2mE/hbar^2)Ψ(x) =　0
であり、その一般解は
　　Ψ(x) = Ccos(kx) + Dsin(kx), k = (2mE)^0.5/hbar
である。境界条件
　　Ψ(0) = Ψ(a) = 0
から、
　　C = 0, k = nπ/a
が得られるので
　　Ψ = Dsin(nπx/a)
である。規格化条件より
　　∫[0→a]Ψ^*Ψdx = ∫[0→a]D^*Dsin^2(nπx/a)dx = |D|^2∫[0→a]sin^2(nπx/a)dx = 1
でなければならない。
　　∫[0→a]sin^2(nπx/a)dx = a/2
だから
　　D^2(a/2) = 1つまりD = (2/a)^0.5
である。
分からないのは|D|^2とD^2は違うのではないか？　ということです。
Dが実数でなければ|D|^2 = 2/aだとしてもD = (2/a)^0.5にはならないと思うのですが