>>719
GmailとかのIMAPメールなら出来る
単に送信済みのラベルが同期設定されてないだけじゃない？
下記の設定を確認してね

アクアメールの設定

アカウント名長押し
➡オプションとフォルダー
➡フォルダー
➡送信済メール
➡左側タップ
➡[送信済み] フォルダと同期を選択

➡右側タップ
➡IMAPプッシュをチェック