俺はドルフィンはKindleFireHD7のアマゾンのレビューにかかれてた方法で入れた。
「設定」のほうにもなんかあらかじめ許可しておかないと外部のソフトインストールできないんたしか

ちょっとそのレビューのインストール手順部分だけ転載する。HDXじゃないから違う部分あるかもしれんよ
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１：設定→端末→アプリケーションのインストールを許可をオン
２：Kindle アプリストアからES Explorerをインストールする
３：Dolphinのインストール−Silkで"dolphin browser 9.2.0 apktop"で検索、サイト上で、画面下の方にある"download via E-mail の下のリンクをクリック”。
実際にはメイルではなく、Kindle上の"download”フォルダにダウンロードされる。ES Explorerでファイルを確認し、クリック、インストール。
４：Silkで"Adobe Flash Player 11.1_11.1.115.34.apk"を検索、検索結果の内、android drawerのものを選択、右上のアンドロイドのマークをクリック。ES Explorerから該当.apkをクリックしてインストール